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> 从边长为2a的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x的小正方形,再将四边向上折起,做成一个无盖的长方体铁盒,且要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比不超过常数t.问:(1-数学
从边长为2a的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x的小正方形,再将四边向上折起,做成一个无盖的长方体铁盒,且要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比不超过常数t.问:(1-数学
题目简介
从边长为2a的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x的小正方形,再将四边向上折起,做成一个无盖的长方体铁盒,且要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比不超过常数t.问:(1-数学
题目详情
从边长为2a的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x的小正方形,再将四边向上折起,做成一个无盖的长方体铁盒,且要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比不超过常数t.问:
(1)求长方体的容积V关于x的函数表达式;
(2)x取何值时,长方体的容积V有最大值?
题型:解答题
难度:中档
来源:钟祥市模拟
答案
(1)长方体的底面正方形的边长为2a-2x,高为x,所以,容积V=4(x-a)2x,
由
class="stub"x
2a-2x
≤t
,得 0<x≤
class="stub"2ta
1+2t
,
(2)由均值不等式知V=2(a-x)(a-x)(2x)
≤2(
class="stub"a-x+a-x+2x
3
)
3
=
16
a
3
27
,
当a-x=2x,即
x=
class="stub"a
3
时等号成立.
①当
class="stub"a
3
≤
class="stub"2ta
1+2t
,即
t≥
class="stub"1
4
,
V
max
=
16
a
3
27
;
②当
class="stub"a
3
>
class="stub"2ta
1+2t
,即
0<t<
class="stub"1
4
时,
V
′
(x)=12(x-
class="stub"2a
3
)
2
-
4
a
2
3
,
则V′(x)在
(0,
class="stub"a
3
)
上单调递减,
∴
V
′
(x)≥
V
′
(
class="stub"2ta
1+2t
)>
V
′
(
class="stub"a
3
)=0
,
∴V(x)在
(0,
class="stub"2ta
1+2t
]
单调递增,
∴
V(x
)
max
=V(
class="stub"2ta
1+2t
)=
8t
a
3
(1+2t)
3
总之,若
0<t<
class="stub"1
4
,则当
x=
class="stub"2ta
1+2t
时,
V
max
=
8t
a
3
(1+2t)
3
;
若
t≥
class="stub"1
4
,则当
x=
class="stub"a
3
时,
V
max
=
16
a
3
27
.
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题目简介
从边长为2a的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x的小正方形,再将四边向上折起,做成一个无盖的长方体铁盒,且要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比不超过常数t.问:(1-数学
题目详情
(1)求长方体的容积V关于x的函数表达式;
(2)x取何值时,长方体的容积V有最大值?
答案
由
(2)由均值不等式知V=2(a-x)(a-x)(2x)≤2(
当a-x=2x,即x=
①当
②当
则V′(x)在(0,
∴V′(x)≥V′(
∴V(x)在(0,
∴V(x)max=V(
总之,若0<t<
若t≥