平面内有n(n∈N＋，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f(n)＝.-高二数学

题目简介

平面内有n(n∈N_＋，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过
同一点，证明：交点的个数f(n)＝

题型：解答题难度：中档来源：不详

见解析

(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，
又f(2)＝

×2×(2－1)＝1，
∴当n＝2时，命题成立．
(2)假设n＝k，∈N＋，且(k>2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)＝

k(k－1)，
那么，当n＝k＋1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)＝

k(k－1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，
即f(k＋1)＝f(k)＋k＝

k(k－1)＋k＝

k(k－1＋2)＝

k(k＋1)＝

(k＋1)[(k＋1)－1]，
这表明，当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)、(2)可知，对n∈N＋(n≥2)命题都成立．