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在数列中，已知，，(，)．（1）当，时，分别求的值，判断是否为定值，并给出证明；（2）求出所有的正整数，使得为完全平方数．-高三数学

题目简介

在数列中，已知，，(，)．（1）当，时，分别求的值，判断是否为定值，并给出证明；（2）求出所有的正整数，使得为完全平方数．-高三数学

题目详情

在数列

中，已知

，

，

(

，

)．
（1）当

，

时，分别求

的值，判断

是否为定值，并给出证明；
（2）求出所有的正整数

，使得

为完全平方数．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）

(

)．（2）当

时，满足条件.

试题分析：（1）第一步是归纳，分别进行计算. 由已知得

，

．所以

时，

；当

时，

．第二步猜想，

(

)．第三步证明，本题可用数学归纳法证，也可证等式

恒成立，（2）探求整数解问题，一般要构造一个可说明的整式. 设

，则

，又

，且501=1

501=3

167，故

或

所以

或

由

解得

；由

得

无整数解．所以当

时，满足条件．
试题解析：（1）由已知得

，

．
所以

时，

；当

时，

． 2分
猜想：

(

)． 3分
下面用数学归纳法证明：
①当

时，结论成立．
②假设当

时，结论成立，即

，
将

代入上式，可得

．
则当

时，

．
故当

结论成立，
根据①,②可得，

(

)成立． 5分
（2）将

代入

，得

，
则

，

，
设

，则

，
即

， 7分
又

，且501=1

501=3

167，
故

或

所以

或

由

解得

；由

得

无整数解．
所以当

时，满足条件． 10分

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