首页 > 如图1，在平面直角坐标系xoy中，Rt△AOB的斜边OB在x轴上，其中∠ABO=30°，OB=4．（1）直接写出，Rt△AOB的内心P的坐标；（2）如图2，若将Rt△AOB绕其直角顶点A顺时针旋转α度

如图1，在平面直角坐标系xoy中，Rt△AOB的斜边OB在x轴上，其中∠ABO=30°，OB=4．（1）直接写出，Rt△AOB的内心P的坐标；（2）如图2，若将Rt△AOB绕其直角顶点A顺时针旋转α度

题目简介

如图1，在平面直角坐标系xoy中，Rt△AOB的斜边OB在x轴上，其中∠ABO=30°，OB=4．（1）直接写出，Rt△AOB的内心P的坐标；（2）如图2，若将Rt△AOB绕其直角顶点A顺时针旋转α度

题目详情

如图1，在平面直角坐标系xoy中，Rt△AOB的斜边OB在x轴上，其中∠ABO=30°，OB=4．
（1）直接写出，Rt△AOB的内心P的坐标；
（2）如图2，若将Rt△AOB绕其直角顶点A顺时针旋转α度（0°＜α＜90°），得到Rt△ACD，直角边AD与x轴相交于点N，直角边AC与y轴相交于点M，连接MN．设△MON的面积为S△MON，△AOB的面积为S△AOB，以点M为圆心，MO为半径作⊙M，
①当直线AD与⊙M相切时，试探求S△MON与S△AOB之间的关系．
②当S△MON=
1
4
S△AOB时，试判断直线AD与⊙M的位置关系，并说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）r=
2+2
3
-4
2
=
3
-1
则P的坐标是：（3-
3
，
3
-1）；

（2）①当AD与⊙M相切时，过M作MN⊥AO于点H，则MH=OM，此时，点H与点A重合．
∴OM=MA
∵∠MOA=α
∠AON=90°-α，∠OAN=90°-α
∠ONA=2α
∴α=30°
∵MN∥CD
∴△AMN∽△ACD
∴
S△MON
S△ACD
=（class="stub"AN
AD
）2=（class="stub"2
2
3
）2=class="stub"1
3
；
②∵S△AMN=class="stub"1
4
S△AOB=class="stub"1
4
S△ACD，
∴
class="stub"1
2
OM•ON
class="stub"1
2
×2×2
3
=class="stub"1
4
，
∵由（2）不难得出：∠MAO=∠BAN，∠AOM=∠ABO，
∴△OAM∽△ANB，
∴class="stub"MO
BN
=class="stub"AO
AB
=class="stub"2
2
3
=class="stub"1
3
，
∵设OM=x，BN=
3
x，NO=4-
3
x，
∴
class="stub"1
2
•x(4-
3
x)
class="stub"1
2
×2×2
3
=class="stub"1
4
，
解得：x1=
3
，x2=
3
3
，
∴当x=
3
时，OM=
3
，NO=1，
∴MN=2，∴AM=1，
∵d＜r，
∴直线AD与⊙M相交，
当x=
3
3
时，MO=
3
3
，NO=3，
∴NM=
9+class="stub"1
3
=
2
21
3
，
∴AM=
21
3
，
∵
21
3
＞
3
3
，
∴直线AD与⊙M相离．

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