周长为6,面积为整数的直角三角形是否存在?若不存在,请给出证明;若存在,请证明共有几个?-数学

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周长为6,面积为整数的直角三角形是否存在?若不存在,请给出证明;若存在,请证明共有几个?-数学

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周长为6,面积为整数的直角三角形是否存在?若不存在,请给出证明;若存在,请证明共有几个?
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

设存在如上的直角三角形,设两直角边分别为a,b,斜边为c,
∵a+b+c=6(1);
a2+b2=c2(2)
∴(a+b)2=(6-c)2(3)
class="stub"1
2
ab=9-3c为整数,
∴c为整数或以3为分母的分数;
∵直角三角形斜边最长则有c>2,根据三角形三边边长规律有c<3;
∴2<c<3;
∴c应为以3为分母的分数,c=class="stub"7
3
class="stub"8
3

当c=class="stub"7
3
时,根据(1)(2)式有:b=6或class="stub"4
3
,a=-class="stub"7
3
class="stub"7
3
,不合题意.
当c=class="stub"8
3
时,根据(1)(2)式有:b=
5-
7
3
,a=
5+
7
3
或a=
5-
7
3
,b=
5+
7
3

∴这样的直角三角形存在,恰有一个,两条直角边为
5-
7
3
5+
7
3
,斜边为class="stub"8
3

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