首页 > 已知数列{an}中，a1=12、点(n、2an+1-an)在直线y=x上，其中n=1，2，3…．（Ⅰ）令bn=an-1-an-3，求证数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项；（Ⅲ）设Sn、

已知数列{an}中，a1=12、点(n、2an+1-an)在直线y=x上，其中n=1，2，3…．（Ⅰ）令bn=an-1-an-3，求证数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项；（Ⅲ）设Sn、

题目简介

已知数列{an}中，a1=12、点(n、2an+1-an)在直线y=x上，其中n=1，2，3…．（Ⅰ）令bn=an-1-an-3，求证数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项；（Ⅲ）设Sn、

题目详情

已知数列{an}中，a1=
1
2
、点(n、2an+1-an)在直线y=x上，其中n=1，2，3…．
（Ⅰ）令bn=an-1-an-3，求证数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项；
（Ⅲ）设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列{
Sn+λTn
n
}为等差数列？若存在，试求出λ．若不存在，则说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：山东

答案

（I）由已知得a1=class="stub"1
2
，2an+1=an+n，
∵a2=class="stub"3
4
，a2-a1-1=class="stub"3
4
-class="stub"1
2
-1=-class="stub"3
4
，
又bn=an+1-an-1，bn+1=an+2-an+1-1，
∴
bn+1
bn
=
an+1-an-1
an+2-an+1-1
=
an+1+(n+1)
2
-
an+n
2
an+1-an-1
=
an+1-an-1
2
an+1-an-1
=class="stub"1
2
.
∴{bn}是以-class="stub"3
4
为首项，以class="stub"1
2
为公比的等比数列．
（II）由（I）知，bn=-class="stub"3
4
×(class="stub"1
2
)n-1=-class="stub"3
2
×class="stub"1
2n
，
∴an+1-an-1=-class="stub"3
2
×class="stub"1
2n
，
∴a2-a1-1=-class="stub"3
2
×class="stub"1
2
，a3-a2-1=-class="stub"3
2
×class="stub"1
22
，
…
∴an-an-1-1=-class="stub"3
2
×class="stub"1
2n-1
，
将以上各式相加得：
∴an-a1-(n-1)=-class="stub"3
2
(class="stub"1
2
+class="stub"1
22
+…+class="stub"1
2n-1
)，
∴an=a1+n-1-class="stub"3
2
×
class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n-1
)
1-class="stub"1
2
=class="stub"1
2
+(n-1)-class="stub"3
2
(1-class="stub"1
2n-1
)=class="stub"3
2n
+n-2.
∴an=class="stub"3
2n
+n-2.
（III）存在λ=2，使数列{
Sn+λTn
n
}是等差数列．
由（I）、（II）知，an+2bn=n-2
∴Sn+2T=
n(n+1)
2
-2n
Sn+λTn
n
=
n(n+1)
2
-2n-2Tn+λTn
n
=class="stub"n-3
2
+class="stub"λ-2
n
Tn
又Tn=b1+b2++bn=
-class="stub"3
4
(1-class="stub"1
2n
)
1-class="stub"1
2
=-class="stub"3
2
(1-class="stub"1
2n
)=-class="stub"3
2
+class="stub"3
2n+1
Sn+λTn
n
=class="stub"n-3
2
+class="stub"λ-2
n
(-class="stub"3
2
+class="stub"3
2n+1
)
∴当且仅当λ=2时，数列{
Sn+λTn
n
}是等差数列．

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