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在xOy平面上有一系列的点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）…对于正整数n，点Pn位于函数y=x2（x≥0）的图象上，以点Pn为圆心的⊙Pn与x轴相切，且⊙Pn与⊙Pn+1

题目简介

在xOy平面上有一系列的点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）…对于正整数n，点Pn位于函数y=x2（x≥0）的图象上，以点Pn为圆心的⊙Pn与x轴相切，且⊙Pn与⊙Pn+1

题目详情

在xOy平面上有一系列的点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）…对于正整数n，点Pn位于函数y=x2（x≥0）的图象上，以点Pn为圆心的⊙Pn与x轴相切，且⊙Pn与⊙Pn+1又彼此外切，若x1=1，且xn+1＜xn．
（1）求证：数列{
1
xn
}是等差数列；
（2）设⊙Pn的面积为Sn，Tn=
S1
+
S2
+
S3
+…+
Sn
，求证：Tn＜
3
π
2
．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）证明：∵圆Pn与P（n+1）相切，且P（n+1）与x轴相切，
所以，Rn=Yn，R（n+1）=Y（n+1），且两圆心间的距离就等于两半径之和，即
(xn-xn+1)2+(yn-yn+1)2
=Yn+Y（n+1）
整理就可以得到，class="stub"1
xn+1
-class="stub"1
xn
=2
故数列{class="stub"1
xn
}是等差数列
（2）S1=π（x1）4S2=π（x2）4…Sn=π（xn）4
约去
π
证明（x1）2+（x2）2+…（xn）2＜class="stub"3
2
即可
由（1）知（x1）2+（x2）2+…（xn）2
=1+（class="stub"1
3
）2+（class="stub"1
5
）2+…（class="stub"1
2n-1
）2
因为1+（class="stub"1
2
）2+（class="stub"1
3
）2+（class="stub"1
4
）2+…（class="stub"1
n
）2
=[1+（class="stub"1
3
）2+（class="stub"1
5
）2+…（class="stub"1
2n-1
）2]+class="stub"1
4
[1+（class="stub"1
2
）2+（class="stub"1
3
）2+（class="stub"1
4
）2+…（class="stub"1
n
）2]
即1+（class="stub"1
3
）2+（class="stub"1
5
）2+…（class="stub"1
2n-1
）2=class="stub"3
4
1+（class="stub"1
2
）2+（class="stub"1
3
）2+（class="stub"1
4
）2+…（class="stub"1
n
）2
又因为 1+[（class="stub"1
2
）2+（class="stub"1
3
）2+（class="stub"1
4
）2+（class="stub"1
5
）2+（class="stub"1
6
）2+（class="stub"1
7
）2]+（class="stub"1
8
）2+…
＜1+[（class="stub"1
2
）2+（class="stub"1
2
）2+（class="stub"1
4
）2+（class="stub"1
4
）2+（class="stub"1
4
）2+（class="stub"1
4
）2+8（class="stub"1
8
）2+…
=1+class="stub"1
2
+class="stub"1
4
+class="stub"1
8
…=2
即就是1+（class="stub"1
2
）2+（class="stub"1
3
）2+（class="stub"1
4
）2+…（class="stub"1
n
）2＜2
所以 1+（class="stub"1
3
）2+（class="stub"1
5
）2+…（class="stub"1
2n-1
）＜class="stub"3
4
×2=class="stub"3
2

即1+（class="stub"1
3
）2+（class="stub"1
5
）2+…（class="stub"1
2n-1
）＜class="stub"3
2

所以
S1
+
S2
+
S3
+…+
Sn
＜
3
π
2

即Tn＜
3
π
2

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