已知数列an满足a1=1,n≥2时,anan-1=2-3anan-1+2.(1)求证:数列{1an}为等差数列;(2)求{3nan}的前n项和.-数学

题目简介

已知数列an满足a1=1,n≥2时,anan-1=2-3anan-1+2.(1)求证:数列{1an}为等差数列;(2)求{3nan}的前n项和.-数学

题目详情

已知数列an满足a1=1,n≥2时,
an
an-1
=
2-3an
an-1+2

(1)求证:数列{
1
an
}
为等差数列;
(2)求{
3n
an
}
的前n项和.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证明:由已知
an
an-1
=
2-3an
an-1+2

整理可得an-1-an=2an-1an(n≥2),
同时除以anan-1可得class="stub"1
an
-class="stub"1
an-1
=2

所以{class="stub"1
an
}
为首项为class="stub"1
a1
=1
,公差为2的等差数列.
(2)由(1)可知,class="stub"1
an
=1+2(n-1)=2n-1

所以
3n
an
=(2n-1)3n

Sn=1×3+3×32+…+(2n-1)×3n①
3Sn=1×32+3×33+…+(2n-1)×3n+1②
①-②得-2Sn=3+2×(32+33+…+3n)-(2n-1)×3n+1=(2-2n)•3n+1-6
所以得Sn=(n-1)3n+1+3

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