如图,四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,侧面APD为等腰直角三角形,PA⊥PD,平面PAD⊥底面ABCD,E为侧棱PC上不同于端点的一点.(1)求证:PA⊥DE:(2)设AD=2BC=2,

题目简介

如图,四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,侧面APD为等腰直角三角形,PA⊥PD,平面PAD⊥底面ABCD,E为侧棱PC上不同于端点的一点.(1)求证:PA⊥DE:(2)设AD=2BC=2,

题目详情

如图,四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,侧面APD为等腰直角三角形,PA⊥PD,平面PAD⊥底面ABCD,E为侧棱PC上不同于端点的一点.
(1)求证:PA⊥DE:
(2)设AD=2BC=2,CD=,求三棱锥D﹣PBC的高.
题型:解答题难度:中档来源:河南省模拟题

答案

(1)证明:∵AD⊥DC,平面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩底面ABCD=AD,
∴DC⊥平面PAD
∵PA平面PAD,
∴DC⊥PA
∵PA⊥PD,PD∩DC=D,
∴PA⊥平面PDC∵DE平面PDC,
∴PA⊥DE;
(2)作PF⊥AD,F为垂足,则F为AD中点,且PF=1,连接BF
∵PF⊥AD,平面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩底面ABCD=AD,
∴PF⊥底面ABCD,
∴PF⊥BF
∵BC∥FD,BC=FD,
∴四边形BCDF是平行四边形
∵BF=CD=
∴PB=2
∵BF∥CD,AD⊥CD,
∴AD⊥BF
∵AD⊥PF,BF∩PF=F
∴AD⊥面PFB,
∴BC⊥面PFB作FH⊥PB,垂足为H,由FH面PFB,可得FH⊥BC
∴FH⊥面PBC,
∴FH的长度为F到面PBC的距离
∵FD∥BC,BC面PBC,FD面PBC
∴FD∥面PBC
设棱锥D﹣PBC的高为h,
∴h=FH
由PF·FB=PB·FH,得FH=
∴三棱锥D﹣PBC的高为

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