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（不等式选讲选做题）已知x+2y+3z=1，求x2+y2+z2的最小值______．-数学

题目简介

（不等式选讲选做题）已知x+2y+3z=1，求x2+y2+z2的最小值______．-数学

题目详情

（不等式选讲选做题）已知x+2y+3z=1，求x2+y2+z2的最小值______．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

解法一：由柯西不等式可知：（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+33），
∴x2+y2+z2≥class="stub"1
14
，
当且仅当class="stub"x
1
=class="stub"y
2
=class="stub"z
3
，x+2y+3z=1，即x=class="stub"1
14
，y=class="stub"1
7
，z=class="stub"3
14
时取等号．
即x2+y2+z2的最小值为class="stub"1
14
．
解法二：设向量
a
=(1，2，3)，
b
=(x，y，z)，
∵|
a
?
b
|≤|
a
| |
b
|，∴1=x+2y+3z≤
12+22+32
x2+y2+z2
，
∴x2+y2+z2≥class="stub"1
14
，当且仅当
a
与
b
共线时取等号，即class="stub"x
1
=class="stub"y
2
=class="stub"z
3
，x+2y+3z=1，解得x=class="stub"1
14
，y=class="stub"1
7
，z=class="stub"3
14
时取等号．
故答案为class="stub"1
14
．

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