设z∈C,且是zz-1纯虚数,求|z+i|的最大值.-数学

题目简介

设z∈C,且是zz-1纯虚数,求|z+i|的最大值.-数学

题目详情

设z∈C,且是
z
z-1
纯虚数,求|z+i|的最大值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

设z=x+yi,x、y∈R,由于class="stub"z
z-1
=class="stub"x+yi
x-1+yi
=
(x+yi)(x-1-yi)
(x-1+yi)(x-1-yi)
=
x2+y2-x
(x-1)2+y2
+class="stub"y
(x-1)2+y2
i 是纯虚数,
故有
x2+y2-x=0
y≠0
,即 (x-class="stub"1
2
)
2
+y2=class="stub"1
4
 (y≠0),表示以C(class="stub"1
2
,0)为圆心,以r=class="stub"1
2
为半径的圆上(除去圆与x轴的2个交点).
而|z+i|表示圆上的点与点A(0,-1)之间的距离,求得AC=
class="stub"1
4
+1
=
5
2

故|z+i|的最大值为AC+r=
1+
5
2

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