若不等式x2+2xy≤m(2x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,则实数m的最小值为______.-数学

题目简介

若不等式x2+2xy≤m(2x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,则实数m的最小值为______.-数学

题目详情

若不等式x2+2xy≤m(2x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,则实数m的最小值为______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

由题意可得:不等式x2+2xy≤m(2x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,
即不等式(2m-1)x2-2xy+my2≥0对于一切正数x,y恒成立,
即不等式(2m-1)(class="stub"x
y
)
2
-2•class="stub"x
y
+m≥0对于一切正数x,y恒成立,
设t=class="stub"x
y
,则有t>0,
所以(2m-1)t2-2t+m≥0对于一切t∈(0,+∞)恒成立,
设f(t)=(2m-1)t2-2t+m,(t>0),
①m=class="stub"1
2
时,显然不符合题意,故舍去.
②当m≠class="stub"1
2
时,函数的对称轴为t0=class="stub"1
2m-1

所以由题意可得:
2m-1>0
△=4-4(2m-1)m≤0
,解得m≥1.
故答案为1.

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