如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是A1B1、CC1的中点，过D1、E、F作平面D1EGF交BB1于G，（Ⅰ）求证：EG∥D1F；（Ⅱ）求二面角C1-D1E-F的余弦值；

题目简介

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E、F分别是A₁B₁、CC₁的中点，过D₁、E、F作平面D₁EGF交BB₁于G，
（Ⅰ）求证：EG∥D₁F；
（Ⅱ）求二面角C₁-D₁E-F的余弦值；
（Ⅲ）求正方体被平面D₁EGF所截得的几何体ABGEA₁-DCFD₁的体积。

题型：解答题难度：中档来源：0127 模拟题

（Ⅰ）证明：在正方体中， ∵平面∥平面，平面∩平面=EG，平面∩平面=， ∴EG∥。
（Ⅱ）解：如图，以D为原点分别以DA、DC、DD1为 x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则有D1（0，0，2），E（2，1，2），F（0，2，1）， ∴，，设平面的法向量为，则由和，得，取x=1，得y=-2，z=-4， ∴，又平面ABCD的法向量为（0，0，2），故； ∴截面与底面ABCD所成二面角的余弦值为；
（Ⅲ）解：设所求几何体的体积为V， ∵∽，， ∴，， ∴，，故V棱台， ∴V=V正方体-V棱台。