首页 > 已知函数f(x)=xlnx，g(x)=-23x3+12ax2-3bx+c(a，b，c∈R)．（1）若函数h（x）=f′（x）-g′（x）是其定义域上的增函数，求实数a的取值范围；（2）若g（x）是奇函

已知函数f(x)=xlnx，g(x)=-23x3+12ax2-3bx+c(a，b，c∈R)．（1）若函数h（x）=f′（x）-g′（x）是其定义域上的增函数，求实数a的取值范围；（2）若g（x）是奇函

题目简介

已知函数f(x)=xlnx，g(x)=-23x3+12ax2-3bx+c(a，b，c∈R)．（1）若函数h（x）=f′（x）-g′（x）是其定义域上的增函数，求实数a的取值范围；（2）若g（x）是奇函

题目详情

已知函数f(x)=xlnx，g(x)=-
2
3
x3+
1
2
ax2-3bx+c(a，b，c∈R)．
（1）若函数h（x）=f′（x）-g′（x）是其定义域上的增函数，求实数a的取值范围；
（2）若g（x）是奇函数，且g（x）的极大值是g(
3
3
)，求函数g（x）在区间[-1，m]上的最大值；
（3）证明：当x＞0时，f′(x)＞
1
ex
-
2
ex
+1．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）f'（x）=lnx+1，g'（x）=-2x2+ax-3b，所以h（x）=lnx+2x2-ax+3b+1，
由于h（x）是定义域内的增函数，故h′(x)=class="stub"1
x
+4x-a≥0恒成立，
即a≤class="stub"1
x
+4x对∀x＞0恒成立，又class="stub"1
x
+4x≥4（x=2时取等号），故a∈（-∞，4]．
（2）由g（x）是奇函数，则g（x）+g（-x）=0对∀x＞0恒成立，从而a=c=0，
所以g(x)=-class="stub"2
3
x3-3bx，有g'（x）=-2x2-3b．
由g（x）极大值为g(
3
3
)，即g′(
3
3
)=0，从而b=-class="stub"2
9
；
因此g(x)=-class="stub"2
3
x3-class="stub"2
3
x，即g′(x)=-2x2+class="stub"2
3
=-2(x-
3
3
)(x+
3
3
)，
所以函数g（x）在(-∞，-
3
3
)和(
3
3
，+∞)上是减函数，在(-
3
3
，
3
3
)上是增函数．
由g（x）=0，得x=±1或x=0，因此得到：
当-1＜m＜0时，最大值为g（-1）=0；
当0≤m＜
3
3
时，最大值为g(m)=-class="stub"2
3
m3+class="stub"2
3
m；
当m≥
3
3
时，最大值为g(
3
3
)=
4
3
27
．
（3）问题等价于证明f(x)=xlnx＞class="stub"x
ex
-class="stub"2
e
对x＞0恒成立；
f'（x）=lnx+1，所以当x∈(0，class="stub"1
e
)时，f'（x）＜0，f（x）在(0，class="stub"1
e
)上单调减；
当x∈(class="stub"1
e
，+∞)时，f'（x）＞0，f（x）在(class="stub"1
e
，+∞)上单调增；
所以f（x）在（0，+∞）上最小值为-class="stub"1
e
（当且仅当x=class="stub"1
e
时取得）
设m(x)=class="stub"x
ex
-class="stub"2
e
(x＞0)，则m′(x)=class="stub"1-x
ex
，得m（x）最大值m(1)=-class="stub"1
e
（当且仅当x=1时取得），
又f（x）得最小值与m（x）的最大值不能同时取到，所以结论成立．

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