已知数列{an}中,a1=1,a2=14,且an+1=(n-1)ann-an(n=2,3,4,…)(1)求a3、a4的值;(2)设bn=1an+1-1(n∈N*),试用bn表示bn+1并求{bn}的通

题目简介

已知数列{an}中,a1=1,a2=14,且an+1=(n-1)ann-an(n=2,3,4,…)(1)求a3、a4的值;(2)设bn=1an+1-1(n∈N*),试用bn表示bn+1并求{bn}的通

题目详情

已知数列{an} 中,a1=1,a2=
1
4
,且an+1=
(n-1)an
n-an
(n=2,3,4,…)
(1)求a3、a4的值;
(2)设bn=
1
an+1
-1
(n∈N*),试用bn表示bn+1并求{bn} 的通项公式;
(3)设cn=
sin3
cosbn•cosbn+1
(n∈N*),求数列{cn}的前n项和Sn
题型:解答题难度:中档来源:安庆模拟

答案

(1)∵数列{an} 中,a1=1,a2=class="stub"1
4

an+1=
(n-1)an
n-an
(n=2,3,4,…),
a3=
(2-1)a2
2-a2
=
class="stub"1
4
2-class="stub"1
4
=class="stub"1
7

a4=
(3-1)a3
3-a3
=
2×class="stub"1
7
3-class="stub"1
7
=class="stub"1
10

a3=class="stub"1
7
a4=class="stub"1
10
.…(3分)
(2)当n≥2时,class="stub"1
an+1
-1=
n-an
(n-1)an
-1=
n(1-an)
(n-1)an
=class="stub"n
n-1
(class="stub"1
an
-1)

∴当n≥2时,bn=class="stub"n
n-1
bn-1

bn+1=class="stub"n+1
n
bn,n∈N*

累乘得bn=nb1,
∵b1=3,∴bn=3n,n∈N*.…(8分)
(3)∵cn=class="stub"sin3
cosbn•cosbn+1

=
sin(3n+3-3n)
cos(3n+3)•cos3n
=tan(3n+3)-tan3n

∴Sn=c1+c2+…+cn
=(tan6-tan3)+(tan9-tan6)+…+(tan(3n+3)-tan3n)
=tan(3n+3)-tan3.…(13分)

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