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设x≥y≥z≥π12，且x+y+z=π2，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．-数学

题目简介

设x≥y≥z≥π12，且x+y+z=π2，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．-数学

题目详情

设x≥y≥z≥
π
12
，且x+y+z=
π
2
，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

∵x≥y≥z≥class="stub"π
12
，且x+y+z=class="stub"π
2
，
∴class="stub"π
6
≤x≤class="stub"π
2
-class="stub"π
12
×2=class="stub"π
3
，y+z=class="stub"π
2
-x，
∵class="stub"π
6
≤x≤class="stub"π
3
，y≥z，
∴cosxsin（y-z）≥0，
∴cosxsinycosz
=cosx×class="stub"1
2
[sin（y+z）+sin（y-z）]
=cosx×class="stub"1
2
[cosx+sin（y-z）]
=class="stub"1
2
cos2x+class="stub"1
2
cosxsin（y-z）≥class="stub"1
2
cos2x═class="stub"1
2
cos2class="stub"π
3
=class="stub"1
8
，
当y=z=class="stub"π
12
，x=class="stub"π
3
时，cosxsinycosz取得最小值，最小值为class="stub"1
8
，
∵sin（x-y）≥0，cosz＞0，
∴cosxsinycosz
=cosz×class="stub"1
2
[sin（x+y）-sin（x-y）]
=class="stub"1
2
cos2z-class="stub"1
2
coszsin（x-y）≤class="stub"1
2
cos2z=class="stub"1+cos2z
4
=class="stub"1
4
（1+cosclass="stub"π
6
）=
2+
3
8
，
当x=y=class="stub"5π
12
，z=class="stub"π
12
时取得最大值，最大值为
2+
3
8
．

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