如图，CD切⊙O于点D，连接OC，交⊙O于点B，过点B作弦，点E为垂足，已知⊙O的半径为10，sin∠COD=45．（1）求弦AB的长；（2）CD的长；（3）劣弧AB的长（结果保留三个有效数字，sin

题目简介

如图，CD切⊙O于点D，连接OC，交⊙O于点B，过点B作弦，点E为垂足，已知⊙O的半径为10，s

in∠COD=

．
（1）求弦AB的长；
（2）CD的长；
（3）劣弧AB的长（结果保留三个有效数字，sin53.13°≈0.8，π≈3.142）．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）∵AB⊥OD，
∴∠OEB=90°
在Rt△OEB中，BE=OB×sin∠COD=10×class="stub"4

=8
由垂径定理得AB=2BE=16
所以弦AB的长是16；（2分）

（2）方法（一）
在Rt△OEB中，OE=

OB2-BE2

102-82

=6．
∵CD切⊙O于点D，
∴∠ODC=90°，
∴∠OEB=∠ODC．
∵∠BOE=∠COD，
∴△BOE∽△COD，
∴class="stub"CD

=class="stub"OD

，
∴class="stub"CD

=class="stub"10

，
∴CD=class="stub"40

．
所以CD的长是class="stub"40

．（3分）
方法（二）由sin∠COD=class="stub"4

可得tan∠COD=class="stub"4

，
在Rt△ODC中，tan∠COD=class="stub"CD

，
∴CD=OD•tan∠COD=10×class="stub"4

=class="stub"40

；（3分）

（3）连接OA，
在Rt△ODC中，
∵sin53.13°≈0.8
∴∠DOC=53.13°，
∴∠AOB=106.26°，
∴劣弧AB的长度l=class="stub"nπR

180

=class="stub"106.26×3.142×10

180

≈18.5．（3分）