（本小题满分14分）设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(t∈R，t>0)．(1)求f(x)的最小值s(t)；(2)若s(t)<－2t＋m对t∈(0,2)时恒成立，求实数m的取值范围．

题目简介

（本小题满分14分）
设函数f(x)＝tx²＋2t²x＋t－1(t∈R，t>0)．
(1)求f(x)的最小值s(t)；
(2)若s(t)<－2t＋m对t∈(0,2)时恒成立，求实数m的取值范围．

题型：解答题难度：偏易来源：不详

解：(1)∵f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1
＝t(x＋t)2－t3＋t－1(t∈R，t>0)，

3分
∴当x＝－t时，f(x)取得最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即s(t)＝－t3＋t－1.

6分
(2)令h(t)＝s(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m.
由h′(t)＝－3t2＋3＝0，

8分
得t＝1或t＝－1(舍去)，则有

10分

∴h(t)在(0,2)内有最大值1－m，

12分
∴s(t)<－2t＋m对t∈(0,2)时恒成立等价于h(t)<0恒成立，
即1－m<0，∴m>1.

14分

略