如图,边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知△A′DE(A∉平面ABC)是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形,有下列命题:①平面A′FG⊥平面ABC;②BC∥平面A′DE;③三

题目简介

如图,边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知△A′DE(A∉平面ABC)是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形,有下列命题:①平面A′FG⊥平面ABC;②BC∥平面A′DE;③三

题目详情

如图,边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知△A′DE(A∉平面ABC)是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形,有下列命题:
①平面A′FG⊥平面ABC;
②BC平面A′DE;
③三棱锥A′-DEF的体积最大值为
1
64
a3
④动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上;
⑤直线DF与直线A′E可能共面.
其中正确的命题是______(写出所有正确命题的编号)
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

①中由已知可得四边形ABCD 是菱形,
则DE⊥GA′,DE⊥GF,
∴DE⊥平面A′FG,∴面A′FG⊥面ABC,①正确;
又 BCDE,∴BC平面A′DE;②正确;
当面A′DE⊥面ABC 时,三棱锥A′-DEF 的体积达到最大,最大值为class="stub"1
3
×class="stub"1
4
×
3
4
a2×
3
4
a=class="stub"1
64
a3,③正确;
由面A′FG⊥面ABC,可知点A′在面ABC 上的射影在线段AF 上,∴④正确;
在旋转过程中DF 与直线A′E 始终异面,⑤不正确.
故答案为:①②③④

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