定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f（x）=2x+2-x．（1）求f（x）在[-1，0）上的解析式；（2）判断f（x）在（-2，-1）上的单调性，并给予证明．-数学

题目简介

题目详情

定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f（x）=2^x+2^-x．
（1）求f（x）在[-1，0）上的解析式；
（2）判断f（x）在（-2，-1）上的单调性，并给予证明．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

解；（1）因为奇函数f（x）的定义域为R，周期为2，
所以f（-1）=f（-1+2）=f（1），且f（-1）=-f（1），于是f（-1）=0．…（2分）
当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），f（x）=-f（-x）=-（2-x+2x）=-2x-2-x．…（5分）
所以f（x）在[-1，0）上的解析式为f(x)=

0， (x=-1)

-2x-2-x， (-1＜x＜0)

…（7分）
（2）f（x）在（-2，-1）上是单调增函数．…（9分）
先讨论f（x）在（0，1）上的单调性．
[方法1]设0＜x1＜x2＜1，
则f(x1)-f(x2)=2x1+2-x1-2x2+2-x2=(2x1-2x2)(1-class="stub"1

2x1+x2

)
因为0＜x1＜x2＜1，所以2x1＜2x2， 2x1+x2＞1，于是2x1-2x2＜0， 1-class="stub"1

2x1+x2

＞0，
从而f（x1）-f（x2）＜0，所以f（x）在（0，1）上是单调增函数．…（12分）
因为f（x）的周期为2，所以f（x）在（-2，-1）上亦为单调增函数．…（14分）
[方法2]当x∈（0，1）时，f'（x）=（2x-2-x）ln2．
因为ln2＞0，2x-2-x＞0，所以f'（x）=（2x-2-x）ln2＞0，
所以f（x）在（0，1）上是单调增函数．…（12分）
因为f（x）的周期为2，所以f（x）在（-2，-1）上亦为单调增函数．…（14分）
[注]第（2）小题亦可利用周期性求出f（x）=2x+2+2-x-2（-2＜x＜-1），再利用定义或导数确定单调性．

上一篇 : 定义，如．对于函数，给出下列四个命
下一篇 : 定义：，已知数列满足：，若对任意正整

定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f（x）=2x+2-x．（1）求f（x）在[-1，0）上的解析式；（2）判断f（x）在（-2，-1）上的单调性，并给予证明．-数学

题目简介

题目详情

答案

更多内容推荐