已知函数f(x)=(a是常数且a>0).对于下列命题:①函数f(x)的最小值是-1;②函数f(x)在R上是单调函数;③若f(x)>0在[,+∞)上恒成立,则a的取值范围是a>1;④对

题目简介

已知函数f(x)=(a是常数且a>0).对于下列命题:①函数f(x)的最小值是-1;②函数f(x)在R上是单调函数;③若f(x)>0在[,+∞)上恒成立,则a的取值范围是a>1;④对

题目详情

已知函数f(x)= (a是常数且a>0).对于下列命题:
①函数f(x)的最小值是-1;
②函数f(x)在R上是单调函数;
③若f(x)>0在[,+∞)上恒成立,则a的取值范围是a>1;
④对任意x1<0,x2<0且x1≠x2,恒有f()<.
其中正确命题的所有序号是________.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

①③④
作出函数f(x)的图象如图所示,显然f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的最小值为f(0)=-1,故命题①正确;

显然,函数f(x)在R上不是单调函数,②错误;
因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,故函数f(x)在[,+∞)上的最小值为f()=2a×-1=a-1,所以若f(x)>0在[,+∞)上恒成立,则a-1>0,即a>1,故③正确;
由图象可知,在(-∞,0)上,对任意x1<0,x2<0且x1≠x2,恒有f()<成立,故④正确.

更多内容推荐