已知函数f(x)=x+b1+x2为奇函数．（I）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；（II）解关于x的不等式f（1+2x2）+f（-x2+2x-4）＞0．-数学

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已知函数f(x)=

x+b

1+x2

为奇函数．
（I）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
（II）解关于x的不等式f（1+2x²）+f（-x²+2x-4）＞0．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）∵函数f(x)=class="stub"x+b

1+x2

为定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，即b=0，
∴函数解析式为：f(x)=class="stub"x

x2+1

．
∴对f（x）求导数，得f′(x)=

(x2+1)-x•2x

(x2+1)2

1-x2

(x2+1)2

．
∵当x＞1时，f′(x)=

1-x2

(x2+1)2

＜0成立，
∴函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数．
（II）由f（1+2x2）+f（-x2+2x-4）＞0，得f（1+2x2）＞-f（-x2+2x-4）．
∵f（x）是奇函数，
∴-f（-x2+2x-4）=f（x2-2x+4）．
原不等式化为：f（1+2x2）＞f（x2-2x+4）．
又∵1+2x2≥1，x2-2x+4=（x-1）2+3＞1，且f（x）在[1，+∞）上为减函数，
∴1+2x2＜x2-2x+4，即x2+2x-3＜0，
解之得-3＜x＜1．
∴不等式f（1+2x2）+f（-x2+2x-4）＞0的解集是{x|-3＜x＜1}

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已知函数f(x)=x+b1+x2为奇函数．（I）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；（II）解关于x的不等式f（1+2x2）+f（-x2+2x-4）＞0．-数学

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