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> 若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列,则称这个数列为调和数列.已知数列是调和数列,对于各项都是正数的数列,满足.(Ⅰ)证明数列是等比数列;(Ⅱ)把数列中所有项按-高三数学
若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列,则称这个数列为调和数列.已知数列是调和数列,对于各项都是正数的数列,满足.(Ⅰ)证明数列是等比数列;(Ⅱ)把数列中所有项按-高三数学
题目简介
若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列,则称这个数列为调和数列.已知数列是调和数列,对于各项都是正数的数列,满足.(Ⅰ)证明数列是等比数列;(Ⅱ)把数列中所有项按-高三数学
题目详情
若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列,则称这个数列为调和数列.已知数列
是调和数列,对于各项都是正数的数列
,满足
.
(Ⅰ)证明数列
是等比数列;
(Ⅱ)把数列
中所有项按如图所示的规律排成一个三角形
数表,当
时,求第
行各数的和;
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的数列
,证明:
.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
(Ⅲ)见解析
(Ⅰ)证明:因为
,且数列
中各项都是正数,
所以
.
设
, ①
因为数列
是调和数列,故
,
.
所以,
. ②
由①得
,代入②式得,
所以
,即
.
故
,所以数列
是等比数列. …………………………5分
(Ⅱ)设
的公比为
,则
,即
.由于
,故
.
于是
.
注意到第
行共有
个数,
所以三角形数表中第1行至第
行共含有
个数.
因此第
行第1个数是数列
中的第
项.
故第
行第1个数是
,
所以第
行各数的和为
. ………… 9分
(Ⅲ)因为
,所以
.
所以
.
又
,
,
所以
.
所以
. ………………………14分
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(本题满分18分)本题共有3个小题,
下一篇 :
设数列满足=1+,且,则+的值为()
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若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列,则称这个数列为调和数列.已知数列是调和数列,对于各项都是正数的数列,满足.(Ⅰ)证明数列是等比数列;(Ⅱ)把数列中所有项按-高三数学
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(Ⅰ)证明数列
(Ⅱ)把数列
数表,当
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的数列
答案
(Ⅲ)见解析
所以
设
因为数列
所以,
由①得
所以
故
(Ⅱ)设
于是
注意到第
所以三角形数表中第1行至第
因此第
故第
所以第
(Ⅲ)因为
所以
又
所以
所以