若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列,则称这个数列为调和数列.已知数列是调和数列,对于各项都是正数的数列,满足.(Ⅰ)证明数列是等比数列;(Ⅱ)把数列中所有项按-高三数学

题目简介

若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列,则称这个数列为调和数列.已知数列是调和数列,对于各项都是正数的数列,满足.(Ⅰ)证明数列是等比数列;(Ⅱ)把数列中所有项按-高三数学

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若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列,则称这个数列为调和数列.已知数列是调和数列,对于各项都是正数的数列,满足
(Ⅰ)证明数列是等比数列;

(Ⅱ)把数列中所有项按如图所示的规律排成一个三角形
数表,当时,求第行各数的和;
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的数列,证明:
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
(Ⅲ)见解析
(Ⅰ)证明:因为,且数列中各项都是正数,
所以
,  ①
因为数列是调和数列,故
所以,.  ②
由①得,代入②式得,
所以,即.
,所以数列是等比数列.      …………………………5分
(Ⅱ)设的公比为,则,即.由于,故
于是
注意到第行共有个数,
所以三角形数表中第1行至第行共含有个数.
因此第行第1个数是数列中的第项.
故第行第1个数是
所以第行各数的和为. ………… 9分
(Ⅲ)因为,所以.
所以


所以
.
所以.  ………………………14分

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