对于数列{an}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N*，都有|an|≤M，则称{an}为有界数列，(1)判断an=2+sinn是否为有界数列，并说明理由；(2)是否存在正项等比数列{an}，使得{a

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对于数列{a_n}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N*，都有|a_n|≤M，则称{a_n}为有界数列，
(1)判断a_n=2+sinn是否为有界数列，并说明理由；
(2)是否存在正项等比数列{a_n}，使得{a_n}的前n项和S_n构成的数列{S_n}是有界数列？若存在，求数列{a_n}的公比q的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)判断数列(n≥2)是否为有界数列，并证明．

题型：解答题难度：偏难来源：重庆市模拟题

答案

解：(1)因为1≤an=2+sinn≤3，所以{an}为有界数列；
(2)设公比为q，当0＜q＜1时，，
则正数数列{Sn}满足，故为有界数列；
当q=1时，Sn=na1，故为无界数列；
当q＞1时，Sn=a1+a2+…+an＞na1，此时为无界数列；
综上，当且仅当0＜q＜1时，{Sn}为有界数列。
(3){an}为无界数列，证明如下：
，
∴，
∴

，
∴，
故当n无限增大时，an也无限增大，所以{an}为无界数列。

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对于数列{an}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N*，都有|an|≤M，则称{an}为有界数列，(1)判断an=2+sinn是否为有界数列，并说明理由；(2)是否存在正项等比数列{an}，使得{a

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