首页 > 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么OA•OB=3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，-

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么OA•OB=3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，-

题目简介

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么OA•OB=3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，-

题目详情

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么
OA
•
OB
=3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：上海

答案

（1）设过点T（3，0）的直线l交抛物线y2=2x于点A（x1，y1）、B（x2，y2）．
当直线l的钭率不存在时，直线l的方程为x=3，
此时，直线l与抛物线相交于点A（3，
6
）、B（3，-
6
）．
∴
OA
•
OB
=3；
当直线l的钭率存在时，设直线l的方程为y=k（x-3），其中k≠0，
由
y2=2x
y=k(x-3)
得ky2-2y-6k=0⇒y1y2=-6
又∵x1=class="stub"1
2
y12，x2=class="stub"1
2
y22，
∴
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=class="stub"1
4
(y1y2)2+y1y2=3，
综上所述，命题“如果直线l过点T（3，0），那么
OA
•
OB
=3”是真命题；
（2）逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点，
如果
OA
•
OB
=3，那么该直线过点T（3，0）．该命题是假命题．
例如：取抛物线上的点A（2，2），B（class="stub"1
2
，1），
此时
OA
•
OB
=3，
直线AB的方程为：y=class="stub"2
3
(x+1)，而T（3，0）不在直线AB上；
说明：由抛物线y2=2x上的点A（x1，y1）、B（x2，y2）满足
OA
•
OB
=3，可得y1y2=-6，
或y1y2=2，如果y1y2=-6，可证得直线AB过点（3，0）；如果y1y2=2，可证得直线
AB过点（-1，0），而不过点（3，0）．

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