在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2cos(B-C)+1=4cosBcosC.(Ⅰ)求A;(Ⅱ)若a=27,△ABC的面积为23,求b+c.-数学

题目简介

在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2cos(B-C)+1=4cosBcosC.(Ⅰ)求A;(Ⅱ)若a=27,△ABC的面积为23,求b+c.-数学

题目详情

在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2cos(B-C)+1=4cosBcosC.
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)若a=2
7
,△ABC的面积为2
3
,求b+c.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)∵2cos(B-C)+1=4cosBcosC,
∴2(cosBcosC+sinBsinC)+1=4cosBcosC,
即2(cosBcosC-sinBsinC)=1,可得2cos(B+C)=1,
∴cos(B+C)=class="stub"1
2

∵0<B+C<π,可得B+C=class="stub"π
3

∴A=π-(B+C)=class="stub"2π
3
.…(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ),得A=class="stub"2π
3

∵S△ABC=2
3
,∴class="stub"1
2
bcsinclass="stub"2π
3
=2
3
,解得bc=8.   ①
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得
(2
7
)2=b2+c2-2bccosclass="stub"2π
3
,即b2+c2+bc=28,
∴(b+c)2-bc=28.                         ②
将①代入②,得(b+c)2-8=28,
∴(b+c)2=36,可得b+c=6.…(12分)

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