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已知二次函数f（x）=x2-x，设直线l：y=t2-t（其中0＜t＜12，t为常数），若直线l与f（x）的图象以及y轴所围成的封闭图形的面积是s1（t），直线l与f（x）的图象所围成封闭图形的面积是s

题目简介

已知二次函数f（x）=x2-x，设直线l：y=t2-t（其中0＜t＜12，t为常数），若直线l与f（x）的图象以及y轴所围成的封闭图形的面积是s1（t），直线l与f（x）的图象所围成封闭图形的面积是s

题目详情

已知二次函数f（x）=x2-x，设直线l：y=t2-t（其中0＜t＜
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，t为常数），若直线l与f（x）的图象以及y轴所围成的封闭图形的面积是s1（t），直线l与f（x）的图象所围成封闭图形的面积是s2（t），设g（t）=s1（t）+
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s2（t），当g（t）取最小值时，求t的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

据题意，直线l与f（x）的图象的交点坐标为（t，t2-t），由定积分的几何意义知：
g（t）=S1（t）+class="stub"1
2
S2（t）
=∫0t[（x2-x）-（t2-t）]dx+
∫tclass="stub"1
2
[（t2-t）-（x2-x）]dx
=[(
x3
3
-
x2
2
)-(t2-t)x]|
t0
+[(t2-t)x-(
x3
3
-
x2
2
)]|
tclass="stub"1
2
=-class="stub"4
3
t3+class="stub"3
2
t2-class="stub"1
2
t+class="stub"1
12
．
而g′（t）=-4t2+3t-class="stub"1
2
=-class="stub"1
2
（8t2-6t+1）=-class="stub"1
2
（4t-1）（2t-1）．
令g′（t）=0⇒t=class="stub"1
4
或t=class="stub"1
2
，（不合题意舍去）．
当t∈（0，class="stub"1
4
）时，g′（t）＜0，g（t）递减；
当t∈（class="stub"1
4
，class="stub"1
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）时，g′（t）＞0，g（t）递增；
故当t=class="stub"1
4
时，g（t）有最小值．

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