Rt△ABC中，∠A=900，BC=4,有一个内角为600，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且∠ACP=300，则PB的长为．-九年级数学

题目简介

Rt△ABC中，∠A=90⁰，BC=4,有一个内角为60⁰，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且∠ACP=30⁰，则PB的长为．

题型：填空题难度：中档来源：不详

4或

或

。

分两种情况考虑：
当∠ABC=60°时，如图所示：

∵∠CAB=90°，∴∠BCA=30°。
又∵∠PCA=30°，∴∠PCB=∠PCA+∠ACB=60°。
又∵∠ABC=60°，∴△PCB为等边三角形。
又∵BC=4，∴PB=4。
当∠ABC=30°时，
（i）当P在A的右边时，如图所示：

∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠PCB=90°。
又∠B=30°，BC=4，
∴

，即

。
（ii）当P在A的左边时，如图所示：

∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠BCP=30°。
又∠B=30°，∴∠BCP=∠B。∴CP=BP。
在Rt△ABC中，∠B=30°，BC=4，∴AC=

BC=2。
根据勾股定理得：

，
∴AP=AB－PB=

－PB。
在Rt△APC中，根据勾股定理得：AC2＋AP2=CP2=BP2，即22+（

－PB）2=BP2，
解得：BP=

。
综上所述，BP的长为4或

或

。