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> 已知a=(sinx,3cosx),b=(cosx,cosx),f(x)=a•b.(1)若a⊥b,求x的取值集合;(2)求函数f(x)的周期及增区间.-数学
已知a=(sinx,3cosx),b=(cosx,cosx),f(x)=a•b.(1)若a⊥b,求x的取值集合;(2)求函数f(x)的周期及增区间.-数学
题目简介
已知a=(sinx,3cosx),b=(cosx,cosx),f(x)=a•b.(1)若a⊥b,求x的取值集合;(2)求函数f(x)的周期及增区间.-数学
题目详情
已知
a
=(sinx,
3
cosx),
b
=(cosx,cosx),f(x)=
a
•
b
.
(1)若
a
⊥
b
,求x的取值集合;(2)求函数f(x)的周期及增区间.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)∵
a
⊥
b
,∴
a
•
b
=0,
而
a
•
b
=sinxcosx+
3
cos2x=
class="stub"1
2
sin2x+
3
2
cos2x+
3
2
=sin(2x+
class="stub"π
3
)+
3
2
,
∴sin(2x+
class="stub"π
3
)+
3
2
=0,即sin(2x+
class="stub"π
3
)=-
3
2
,
∴2x+
class="stub"π
3
=2kπ-
class="stub"2π
3
或2x+
class="stub"π
3
=2kπ-
class="stub"π
3
(k∈Z),
解得:x=kπ-
class="stub"π
2
或x=kπ-
class="stub"π
3
(k∈Z),
∴x的取值集合为{x|x=kπ-
class="stub"π
2
或x=kπ-
class="stub"π
3
(k∈Z)};
(2)∵f(x)=
a
•
b
=sin(2x+
class="stub"π
3
)+
3
2
,∴f(x)的周期T=
class="stub"2π
2
=π,
∵y=sinx的增区间为[2kπ-
class="stub"π
2
,2kπ+
class="stub"π
2
](k∈Z),
由2kπ-
class="stub"π
2
≤2x+
class="stub"π
3
≤2kπ+
class="stub"π
2
,解得:kπ-
class="stub"5π
12
≤x≤kπ+
class="stub"π
12
,
∴f(x)的增区间为[kπ-
class="stub"5π
12
,kπ+
class="stub"π
12
](k∈Z).
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(1)若
答案
而
∴sin(2x+
∴2x+
解得:x=kπ-
∴x的取值集合为{x|x=kπ-
(2)∵f(x)=
∵y=sinx的增区间为[2kπ-
由2kπ-
∴f(x)的增区间为[kπ-