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> (本题满分12分)设函数(a>0,b,cÎR),曲线在点P(0,f(0))处的切线方程为.(Ⅰ)试确定b、c的值;(Ⅱ)是否存在实数a使得过点(0,2)可作曲线的三条不同切线,若存在,求出
(本题满分12分)设函数(a>0,b,cÎR),曲线在点P(0,f(0))处的切线方程为.(Ⅰ)试确定b、c的值;(Ⅱ)是否存在实数a使得过点(0,2)可作曲线的三条不同切线,若存在,求出
题目简介
(本题满分12分)设函数(a>0,b,cÎR),曲线在点P(0,f(0))处的切线方程为.(Ⅰ)试确定b、c的值;(Ⅱ)是否存在实数a使得过点(0,2)可作曲线的三条不同切线,若存在,求出
题目详情
(本题满分12分)
设函数
(a>0,b,cÎR),曲线
在点P(0,f (0))处的切线方程为
.
(Ⅰ)试确定b、c的值;
(Ⅱ)是否存在实数a使得过点(0,2)可作曲线
的三条不同切线,若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:偏易
来源:不详
答案
(Ⅰ)
. (Ⅱ)当
时,过点(0,2)可作曲线
的三条不同切线.
试题分析:(Ⅰ)由
得
,
, ……2分
又由曲线
在点P(0,
)处的切线方程为
,得
,
,故
.……4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
,
.
设存在实数a使得过点(0,2)可作曲线
的三条不同切线,并设切点为
.
则切线的斜率为
,
切线方程为
,
.
∵切线过点(0,2),∴
.
于是得
, (*) ……6分
由已知过点(0,2)可作曲线
的三条不同切线,则方程(*)应有三个不同实数根.
令
,则
.
令
,得
或
.……8分
由于
,所以函数
在区间
上为增函数,在区间
上为减函数,在区间
为增函数,所以函数
在
处取极大值
,在
处取极小值
.
要使方程(*)有三个不同实数根,
,得
.……11分
综上所述,当
时,过点(0,2)可作曲线
的三条不同切线.……12分
注:如有其它解法,斟情给分.
点评:典型题,本题属于导数应用中的基本问题,(2)作为存在性问题,先假定存在实数a使得过点(0,2)可作曲线
的三条不同切线,通过研究函数的单调性,认识函数特征,转化成只需使方程
有三个不同实数根,得到a的不等式。
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设,函数的导函数是,且是奇函数,则
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函数在区间[0,2]上的最大值为.-
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(Ⅱ)是否存在实数a使得过点(0,2)可作曲线
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试题分析:(Ⅰ)由
又由曲线
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
设存在实数a使得过点(0,2)可作曲线
则切线的斜率为
切线方程为
∵切线过点(0,2),∴
于是得
由已知过点(0,2)可作曲线
令
令
由于
要使方程(*)有三个不同实数根,
综上所述,当
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