已知函数f(x)=sin2x+2cos2x-1.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和最大值;(Ⅱ)求函数f(x)在区间[π4,3π4]上的最大值和最小值.-数学

题目简介

已知函数f(x)=sin2x+2cos2x-1.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和最大值;(Ⅱ)求函数f(x)在区间[π4,3π4]上的最大值和最小值.-数学

题目详情

已知函数f(x)=sin2x+2cos2x-1.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和最大值;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[
π
4
4
]
上的最大值和最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)∵2cos2x-1=cos2x,f(x)=sin2x+2cos2x-1,
∴f(x)=sin2x+cos2x=
2
sin(2x+class="stub"π
4
)
.…..(3分)
因此,函数的周期T=ω=class="stub"2π
2
.…..(5分)
又∵-1≤sin(2x+class="stub"π
4
)≤1

-
2
≤f(x)≤
2
,当2x+class="stub"π
4
=class="stub"π
2
+2kπ时,即x=class="stub"π
8
+kπ(k∈Z)时,函数的最大值为
2

综上所述,函数f(x)的最小正周期是π;最大值是
2
.…..(7分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=
2
sin(2x+class="stub"π
4
)

class="stub"π
4
≤x≤class="stub"3π
4
,得class="stub"3π
4
≤2x+class="stub"π
4
≤class="stub"7π
4

∴-
2
2
sin(2x+class="stub"π
4
)
2
×
2
2
=1
2x+class="stub"π
4
=class="stub"3π
4
时,即x=class="stub"π
4
时,函数f(x)有最大值是1;
2x+class="stub"π
4
=class="stub"3π
2
时,即x=class="stub"5π
8
时,函数f(x)有最小值是-
2

综上所述,函数f(x)在区间[class="stub"π
4
,class="stub"3π
4
]
上的最大值是1,最小值是-
2
.…..(13分)

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