把一副直角三角板ABC和EFG叠放在一起,且使三角板EFC的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合,其中∠B=30°,AB的长为4。(1)如图1,EG⊥AC于点K,CF⊥BC于点H,求CH:GK的值

题目简介

把一副直角三角板ABC和EFG叠放在一起,且使三角板EFC的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合,其中∠B=30°,AB的长为4。(1)如图1,EG⊥AC于点K,CF⊥BC于点H,求CH:GK的值

题目详情

把一副直角三角板ABC和EFG叠放在一起,且使三角板EFC的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合,其中∠B=30 °,AB的长为4。
(1)如图1,EG  ⊥AC于点K,CF⊥BC于点H,求CH:GK的值。
(2)将三角板EFG由图l所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转α(0 °<α<30°)如图2所示,EC交AC于点K,GF交BC于点H,GH:GK的值是否改变?请证明你的结论。 
题型:解答题难度:中档来源:河北省模拟题

答案

解:(1) ∵GE⊥AC于K,GF⊥BC于H      
∴∠AKG= ∠GHB =90°      
∵∠ACB =90°
∴GK//BC     
∴∠AGK= ∠B =30°      
∵G与AB的中点O重合
∴AG= CB      
∴△AKG≌△CHB
∴KG= HB
在Rt△GHB中,tan∠B
∴ GH :GK=    

(2)GH :GK的值不改变               
证明:如图,过点G作GP⊥AC于点P,GQ⊥BC于点Q    
∵∠ACB=90°
∴四边形PCQG是矩形   
∴∠PGK +∠KGQ =90°  
∵∠EGF=90°
∵∠HGQ+ ∠KGQ =90°
∴∠PCK=∠HGQ  
∵∠GPK=∠GQH =90°    
∴△PCK∽△QGH

        
又∵

∴GH :GK的值不改变

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