有下列命题:①若函数h(x)=cos4x-sin4x,则h′(π12)=-1;②若函数f(x)在R存在导函数,则f′(2x)=[f(2x)]';③若函数g(x)=(x-1)(x-2)…(x-

题目简介

有下列命题:①若函数h(x)=cos4x-sin4x,则h′(π12)=-1;②若函数f(x)在R存在导函数,则f′(2x)=[f(2x)]';③若函数g(x)=(x-1)(x-2)…(x-

题目详情

有下列命题:
①若函数h(x)=cos4x-sin4x,则h′(
π
12
)=-1

②若函数f(x)在R存在导函数,则f′(2x)=[f(2x)]';
③若函数g(x)=(x-1)(x-2)…(x-2012)(x-2013),则g′(2013)=2012!;
④若三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,则“a+b+c=0”是“f(x)有极值”的充要条件.
其中真命题的序号是______.
题型:填空题难度:偏易来源:不详

答案

①∵h(x)=cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x,
∴h′(x)=-2sin2x,
∴h′(class="stub"π
12
)=-2sinclass="stub"π
6
=-1,故①正确;
②[f(2x)]′=f′(2x)(2x)′=2f′(2x),故②错误;
③∵g(x)=(x-1)(x-2)(x-3)…(x-2012)(x-2013),
∴g′(x)=[(x-1)(x-2)…(x-2012)]+(x-2013)⋅[(x-1)(x-2)…(x-2012)]′
∴g′(2013)=(2013-1)(2013-2)•…•(2013-2012)
=1×2×…×2012
=2012!,
∴③正确;
④三次函数的导数f′(x)=3ax2+2bx+c,要使f(x)有极值点,则f′(x)=3ax2+2bx+c=0有两个不等的实根,即△=b2-3ac>0,当a=b=c=0时,△=0,不成立,
∴④错误;
综上所述,真命题的序号是①③.
故答案为:①③.

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