如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图①，当点M在点B左侧时-七年
题目简介
如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图①，当点M在点B左侧时-七年
题目详情
（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；
（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；
（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．
答案
（1）EN与MF相等 （或EN=MF），点F在直线NE上
（2）成立
（3）略
（1）判断：EN与MF相等 （或EN=MF），点F在直线NE上， 3分
（说明：答对一个给2分）
（2）成立． 4分
证明：
法一：连结DE，DF． 5分
∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．
又∵D，E，F是三边的中点，
∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．
又∠MDF+∠FDN=60°， ∠NDE+∠FDN=60°，
∴∠MDF=∠NDE． 7分
在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN， ∠MDF=∠NDE，
∴△DMF≌△DNE． 8分
法二：
延长EN，则EN过点F． 5分
∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．
又∵D，E，F是三边的中点， ∴EF=DF=BF．
∵∠BDM+∠MDF=60°， ∠FDN+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN． 7分
又∵DM=DN， ∠ABM=∠DFN=60°，
∴△DBM≌△DFN． 8分
∴BM=FN．
∵BF=EF， ∴MF=EN． 9分
法三：
连结DF，NF． 5分
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AC．
又∵D，E，F是三边的中点，
∴DF为三角形的中位线，∴DF=
又∠BDM+∠MDF=60°， ∠NDF+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN． 7分
在△DBM和△DFN中，DF=DB，
DM=DN， ∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN．
∴∠B=∠DFN=60°． 8分
又∵△DEF是△ABC各边中点所构成的三角形，
∴∠DFE=60°．
∴可得点N在EF上，
∴MF=EN． 9分
（3）画出图形（连出线段NE）， 11分