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已知首项为a（a≠0）的数列{an}的前n项和为Sn，，若对任意的正整数m、n，都有SnSm=(nm)2．（Ⅰ）证明：数列{an}是等差数列；（Ⅱ）若a=1，数列{bn}的首项为b（b≠1），第n（n

题目简介

已知首项为a（a≠0）的数列{an}的前n项和为Sn，，若对任意的正整数m、n，都有SnSm=(nm)2．（Ⅰ）证明：数列{an}是等差数列；（Ⅱ）若a=1，数列{bn}的首项为b（b≠1），第n（n

题目详情

已知首项为a（a≠0）的数列{an}的前n项和为Sn，，若对任意的正整数m、n，都有
Sn
Sm
=(
n
m
)2．
（Ⅰ）证明：数列{an}是等差数列；
（Ⅱ）若a=1，数列{bn}的首项为b（b≠1），第n（n∈N*，n≥2）项bn是数列{an}的第bn-1项，求证：数列|bn-1|为等比数列；
（Ⅲ）若对（Ⅱ）中的数列{an}和{bn}及任意正整数n，均有2an+bn+11≥0成立，求实数b的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）证明：在
Sn
Sm
=(class="stub"n
m
)2中，取m=1，得
Sn
1
=n2，即Sn=n2a，
当n≥2时，Sn-1=（n-1）2a，
∴an=Sn-Sn-1=n2a-（n-1）2a=（2n-1）a，
当n=1时，a1=a也适合上式，
∴an=（2n-1）a，n∈N+，
∵an+1-an=2a，
∴{an}是以a为首项，2a为公差的等差数列．
（Ⅱ）证明：当a=1时，由（Ⅰ）可得an=2n-1，
∴bn=2bn-1-1，
即有bn-1=2（bn-1-1），
b1-1=b-1≠0，
∴{bn-1}是以b-1为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，bn-1=（b-1）•2n-1，
∴bn=1+（b-1）•2n-1，
∴由题意得，不等式22n-1+（b-1）•2n-1+12≥0对任意正整数n恒成立，
即b-1≥-
22n-1+12
2n-1
=-(2n+class="stub"24
2n
)恒成立．
设t=2n（t=2，4，8，…），则b-1＞-(t+class="stub"24
t
)恒成立，
对于函数y=x+class="stub"24
x
，
y′= 1-class="stub"24
x2
=
(x+2
6
)(x-2
6
)
x2
．
当x∈(-2
6
，2
6
)时，y′＜0，当x∈(-∞，-2
6
)和（2
6
，+∞）时，y′＞0，
∴函数y=x+class="stub"24
x
在(-2
6
，2
6
)上单调减，在(-∞，-2
6
)和（2
6
，+∞）上单调增．
又当x=4时，y=10；当x=8时，y=11，∴y=t+class="stub"24
t
的最小值是10．∴b-1≥[-(2n+class="stub"24
2n
)]min=-10．
即b≥-9，
∴实数b的最小值是-9．

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