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已知偶函数f（x）（x∈R），当x∈（-2，0]时，f（x）=-x（2+x），当x∈[2，+∞）时，f（x）=（x-2）（a-x）（a∈R）．关于偶函数f（x）的图象G和直线l：y=m（m∈R）的3个

题目简介

已知偶函数f（x）（x∈R），当x∈（-2，0]时，f（x）=-x（2+x），当x∈[2，+∞）时，f（x）=（x-2）（a-x）（a∈R）．关于偶函数f（x）的图象G和直线l：y=m（m∈R）的3个

题目详情

已知偶函数f（x）（x∈R），当x∈（-2，0]时，f（x）=-x（2+x），当x∈[2，+∞）时，f（x）=（x-2）（a-x）（a∈R）．
关于偶函数f（x）的图象G和直线l：y=m（m∈R）的3个命题如下：
①当a=2，m=0时，直线l与图象G恰有3个公共点；
②当a=3，m=
1
4
时，直线l与图象G恰有6个公共点；
③∀m∈（1，+∞），∃a∈（4，+∞），使得直线l与图象G交于4个点，且相邻点之间的距离相等．
其中正确命题的序号是（　　）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
题型：单选题难度：偏易来源：丰台区二模

答案

设x∈[0，2），则-x∈（-2，0]，故f（-x）=x（2-x），
由函数为偶函数可知，当x∈[0，2）时，f（x）=x（2-x），
故当x∈[0，+∞）时，f（x）=
x(2-x)，x∈[0，2)
(x-2)(a-x)，x∈[2，+∞)
，
①当a=2，m=0时，x∈[0，+∞）时，f（x）=
x(2-x)，x∈[0，2)
-(x-2)2，x∈[2，+∞)
，
令其等于0可得，x=0，或x=2，由函数图象的对称性可知，
此时直线l与图象G恰有3个公共点-2，0，2，故①正确；
②当a=3，m=class="stub"1
4
时，x∈[0，+∞）时，f（x）=
x(2-x)，x∈[0，2)
(x-2)(3-x)，x∈[2，+∞)
，
令其等于class="stub"1
4
可得x=
2-
3
2
，或x=
2+
3
2
，或x=class="stub"5
2
，由函数图象的对称性可知，
此时直线l与图象G恰有6个公共点-
2-
3
2
，-
2+
3
2
，-class="stub"5
2
，
2-
3
2
，
2+
3
2
，class="stub"5
2
，故②正确；
③∀m∈（1，+∞），令f（x）=
x(2-x)，x∈[0，2)
(x-2)(a-x)，x∈[2，+∞)
=m，
∵当x∈[0，2）时，f（x）=x（2-x）=-（x-1）2+1≤1，
故只能让（2-x）（a-x）=m，（m＞1），当△=（a-2）2-4m＞0，
即（a-2）2＞4，即a＞4，或a＜0时，
可解得x=
a+2-
(a-2)2-4m
2
，或x=
a+2+
(a-2)2-4m
2
，
故由函数图象的对称性可知直线l与图象G交于4个点，由小到大排列为：x1=-
a+2+
(a-2)2-4m
2
，
x2=-
a+2-
(a-2)2-4m
2
，x3=
a+2-
(a-2)2-4m
2
，x4=
a+2+
(a-2)2-4m
2
，
而x4-x3=
(a-2)2-4m
，x3-x2=a+2-
(a-2)2-4m
，
由x3-x2=x4-x3，化简可得3a2-20a+12=16m＞16，解得a＜
10-2
22
3
，或a＞
10+2
22
3
，
故可取a=8＞
10+2
22
3
，当然满足a∈（4，+∞），使距离相等，
故对∀m∈（1，+∞），∃a=8∈（4，+∞），使得直线l与图象G交于4个点，且相邻点之间的距离相等，故③正确．
故选D

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