如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD．顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得

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如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD．顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A₁B₁C₁D₁；再顺次连接四边形A₁B₁C₁D₁各边中点，得到四边形A₂B₂C₂D₂…如此进行下去得到四边形A_nB_nC_nD_n．

（1）证明：四边形A₁B₁C₁D₁是矩形；
（2）写出四边形A₁B₁C₁D₁和四边形A₂B₂C₂D₂的面积；
（3）写出四边形A_nB_nC_nD_n的面积；
（4）求四边形A₅B₅C₅D₅的周长．

题型：解答题难度：偏难来源：同步题

答案

（1）证明：∵点A1，D1分别是AB、AD的中点，
∴A1D1是△ABD的中位线∴A1D1⊥BD，A1D1=BD，同理：B1C1⊥BD，B1C1=BD
∵A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1=BD
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形．
∵AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1，
∴A1B1⊥A1D1即∠B1A1D1=90°
∴四边形A1B1C1D1是矩形；
（2）解：由三角形的中位线的性质知，B1C1=BD=4，B1A1=AC=3，
得：四边形A1B1C1D1的面积为12；四边形A2B2C2D2的面积为6；
（3）解：由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，故四边形AnBnCnDn的面积为；
（4）解：方法一：
由（1）得矩形A1B1C1D1的长为4，宽为3．
∴矩形A5B5C5D5∽矩形A1B1C1D1
∴可设矩形A5B5C5D5的长为4x，宽为3x，则，
解得×
∴矩形A5B5C5D5的周长=
方法二：矩形A5B5C5D5的面积/矩形A1B1C1D1的面积=（矩形A5B5C5D5的周长）2/（矩形A1B1C1D1的周长）2即：12=（矩形A5B5C5D5的周长）2：142
∴矩形A5B5C5D5的周长=．

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如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD．顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得

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