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（1）当时，在上恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，若函数在上恰有两个不同零点，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使函数f（x）和函数在公共定义域上具有相同的单调区间？若-高三数学

题目简介

（1）当时，在上恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，若函数在上恰有两个不同零点，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使函数f（x）和函数在公共定义域上具有相同的单调区间？若-高三数学

题目详情

（1）当

时，

在

上恒成立，求实数

的取值范围；
（2）当

时，若函数

在

上恰有两个不同零点，求实数

的取值范围；
（3）是否存在实数

，使函数f（x）和函数

在公共定义域上具有相同的单调区间？若存在，求出

的值，若不存在，说明理由。

题型：解答题难度：偏易来源：不详

答案

解：（1）由a=0,f（x）≥h（x）可得-mlnx≥-x，即

记

，则f（x）≥h（x）在（1,+∞）上恒成立等价于

．求得

当

时;

;当

时，

故

在x=e处取得极小值，也是最小值，
即

，故

．
（2）函数k（x）=f（x）-h（x）在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有两个相异实根。
令g（x）=x-2lnx,则

当

时，

,当

时

，

g（x）在[1,2]上是单调递减函数，在

上是单调递增函数。
故

又g（1）=1,g（3）=3-2ln3
∵g（1）>g（3）,∴只需g（2）<a≤g（3）,
故a的取值范围是（2-2ln2,3-2l

n3]
（3）存在m=

，使得函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性

,函数f（x）的定义域为（0,+∞）。
若

，则

，函数f（x）在（0,+∞）上单调递增，不合题意;
若

,由

可得2x2-m>0，解得x>

或x<

-

（舍去）
故

时，函数的单调递增区间为（

,+∞），单调递减区间为（0,

）
而h（x）在（0,+∞）上的单调递减区间是（0,

），单调递增区间是（

，+∞）
故只需

=

，解之得m=

即当m=

时，函数f（x）和函数h（x）在其公共定义域上具有相同的单调性

略

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