如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,AB=BC=,BB1=3,D为A1C1的中点,F在线段AA1上.(1)AF为何值时,CF⊥平面B1DF?(2)设AF=1,求平面B1CF与平

题目简介

如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,AB=BC=,BB1=3,D为A1C1的中点,F在线段AA1上.(1)AF为何值时,CF⊥平面B1DF?(2)设AF=1,求平面B1CF与平

题目详情

如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,AB=BC=,BB1=3,D为A1C1的中点,F在线段AA1上.
(1)AF为何值时,CF⊥平面B1DF?
(2)设AF=1,求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.
题型:解答题难度:中档来源:江苏月考题

答案

解:(1)因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,BB1⊥面ABC,
所以∠ABC=
以B点为原点,BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.
因为AC=2,∠ABC=90°,
所以AB=BC=
从而B(0,0,0),A,C,B1(0,0,3),
A1,C1,D,E
所以
设AF=x,则F(,0,x),.

所以
要使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥B1F.
=2+x(x﹣3)=0,得x=1或x=2,
故当AF=1或2时,CF⊥平面B1DF.
(2)由(1)知平面ABC的法向量为n1=(0,0,1).
设平面B1CF的法向量为n=(x,y,z),
则由
令z=1得
所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值
cos<n,n1>==

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