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已知函数f（x）=2asinωxcosωx+b（2cos2ωx-1）（ω＞0）在x=π12时取最大值2．x1，x2是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，|x1-x2|的最小值为π2．（I

题目简介

已知函数f（x）=2asinωxcosωx+b（2cos2ωx-1）（ω＞0）在x=π12时取最大值2．x1，x2是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，|x1-x2|的最小值为π2．（I

题目详情

已知函数f（x）=2asinωxcosωx+b（2cos2ωx-1）（ω＞0）在x=
π
12
时取最大值2．x1，x2是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，|x1-x2|的最小值为
π
2
．
（I）求a、b的值；
（II）若f(α)=
2
3
，求sin(
5π
6
-4α)的值．
题型：解答题难度：中档来源：湖北模拟

答案

（I）f（x）=asin2ωx+bcos2ωx，
可设f（x）=Asin（2ωx+ϕ），其中A=
a2+b2
，sinϕ=class="stub"b
a2+b2
，cosϕ=class="stub"a
a2+b2

由题意知：f（x）的周期为π，A=2，由class="stub"2π
2ω
=π，知ω=1．
∴f（x）=2sin（2x+ϕ）（3分）
∵f(class="stub"π
12
)=2，∴sin(class="stub"π
6
+ϕ)=1，从而class="stub"π
6
+ϕ=class="stub"π
2
+2kπ，k∈Z，
即ϕ=class="stub"π
3
+2kπ(k∈Z)，∴f(x)=2sin(2x+class="stub"π
3
)=sin2x+
3
cos2x，
从而a=1，b=
3
（6分）

（II）由f(α)=class="stub"2
3
知2sin(2α+class="stub"π
3
)=class="stub"2
3
，即sin(2α+class="stub"π
3
)=class="stub"1
3
．
∴sin(class="stub"5π
6
-4α)=sin[class="stub"3π
2
-(4α+class="stub"2π
3
)]=-cos(4α+class="stub"2π
3
)
=-1+2sin2(2α+class="stub"π
3
)=-1+2×(class="stub"1
3
)2=-class="stub"7
9
．（12分）

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