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> 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;(Ⅱ)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;(Ⅲ)
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;(Ⅱ)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;(Ⅲ)
题目简介
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;(Ⅱ)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;(Ⅲ)
题目详情
如图,在三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AA
1
C
1
C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA
1
C
1
C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求证:AA
1
⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A
1
-BC
1
-B
1
的余弦值;
(Ⅲ)证明:在线段BC
1
存在点D,使得AD⊥A
1
B,并求
的值.
题型:解答题
难度:偏易
来源:不详
答案
(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
(Ⅲ)
把平面与平面垂直转化为直线和平面垂直.要证直线和平面垂直,依据相关判定定理转化为证明直线和直线垂直.求二面角,往往利用“作——证——求”的思路完成,作二面角是常常利用直线和平面垂直.第(Ⅲ)题,求解有难度,可以空间向量完成.
(Ⅰ)因为
为正方形,所以
.
因为平面ABC⊥平面AA1C1C,,且平面ABC
平面AA1C1C
,
所以
⊥平面ABC.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
⊥AC,
⊥AB.
由题意知
,所以
.
如图,以A为原点建立空间直角坐标系
,则
.
设平面
的法向量为
,则
即
令
,则
,所以
.
同理可得,平面
的法向量为
.
所以
.
由题知二面角A1-BC1-B1为锐角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为
.
(Ⅲ)设
是直线
上的一点,且
.
所以
,解得
,所以
.
由
,即
,解得
.
因为
,所以在线段
上存在点D,使得
,此时
.
【考点定位】本题考查了平面与平面垂直的性质定理,直线和平面垂直的判定定理,考查了法向量、空间向量在立体几何中的应用和二面角的求法,考查了空间想象能力和推理论证能力.
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如图所示的几何体ABCDFE中,△AB
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对于平面,,和直线,,,,下列命题中真命
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如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;(Ⅱ)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;(Ⅲ)
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(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;
(Ⅲ)证明:在线段BC1存在点D,使得AD⊥A1B,并求
答案
(Ⅰ)因为
因为平面ABC⊥平面AA1C1C,,且平面ABC
所以
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
由题意知
如图,以A为原点建立空间直角坐标系
设平面
令
同理可得,平面
所以
由题知二面角A1-BC1-B1为锐角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为
(Ⅲ)设
所以
由
因为
【考点定位】本题考查了平面与平面垂直的性质定理,直线和平面垂直的判定定理,考查了法向量、空间向量在立体几何中的应用和二面角的求法,考查了空间想象能力和推理论证能力.