某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD(AB>AD)为长方形薄板，沿AC折叠后，AB′交DC于点P.当△ADP-高三数学

题目简介

某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD(AB>AD)为长方形薄板，沿AC折叠后，AB′交DC于点P.当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB′PD的面积最大时制冷效果最好．

(1)设AB＝x(米)，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
(2)若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？
(3)若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）y＝2(1－

)，1<x<2.
（2）长为

米，宽为(2－

)米时，节能效果最好
（3）薄板长为

米，宽为(2－

)米时，制冷效果最好

解：(1)由题意，AB＝x，BC＝2－x.
x>2－x，故1<x<2.
设DP＝y，则PC＝x－y.
又△ADP≌△CB′P，故PA＝PC＝x－y.
由PA2＝AD2＋DP2，
得(x－y)2＝(2－x)2＋y2，
y＝2(1－

)，1<x<2.
(2)记△ADP的面积为S1，
则S1＝(1－

)(2－x)＝3－(x＋

)≤3－2

，
当且仅当x＝

∈(1,2)时，S1取得最大值．
故当薄板长为

米，宽为(2－

)米时，节能效果最好．
(3)记凹多边形ACB′PD的面积为S2，
则S2＝

x(2－x)＋(1－

)(2－x)＝3－

(x2＋

)(1<x<2)，
于是S′2＝－

(2x－

)＝

＝0，得x＝

.
关于x的函数S2在(1，

)上单调递增，在(

，2)上单调递减，所以当x＝

时，S2取得最大值．
故当薄板长为

米，宽为(2－

)米时，制冷效果最好．