首页 > 已知函数f（x）=x1+|x|（x∈R）），给出下列命题：（1）对∀∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立；（2）函数f（x）的值域为（-1，1）；（3）若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）

已知函数f（x）=x1+|x|（x∈R）），给出下列命题：（1）对∀∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立；（2）函数f（x）的值域为（-1，1）；（3）若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）

题目简介

已知函数f（x）=x1+|x|（x∈R）），给出下列命题：（1）对∀∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立；（2）函数f（x）的值域为（-1，1）；（3）若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）

题目详情

已知函数f（x）=
x
1+|x|
 （x∈R）），给出下列命题：
（1）对∀∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立；
（2）函数f（x）的值域为（-1，1）；
（3）若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；
（4）函数g（x）=f（x）-x在R上有三个零点．
其中正确命题的序号为______（把所有正确命题的序号都填上）．
题型：填空题难度：偏易来源：东城区模拟

答案

（1）f（-x）=class="stub"-x
1+|-x|
=-class="stub"x
1+|x|
=-f(x)，所以（1）成立；
（2）当x=0时f（x）=0，因函数为奇函数，当x＞0时，f（x）=class="stub"x
1+x
=class="stub"1
1+class="stub"1
x
，∵class="stub"1
x
＞0，∴1+class="stub"1
x
＞1，
∴0＜class="stub"1
1+class="stub"1
x
＜1，即0＜f（x）＜1；由对称性知当x＜0时，-1＜f（x）＜0，又f（0）=0，∴函数f（x）的值域为（-1，1）；
（3）设x1＜x2＜0，则f（x1）-f（x2）=
x1
1+|x1|
-
x2
1+|x2|
=
x1+x1|x2|-x2-x2|x1|
(1+|x1|)(1+|x2|)
=
x1-x2
(1+|x1|)(1+|x2|)

∵x1＜x2＜0，∴
x1-x2
(1+|x1|)(1+|x2|)
＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在（-∞，0）为单调函数，所以函数在定义域上为单调函数，若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；
（4）当x＞0时，由f（x）-x=0得，class="stub"x
1+x
-x=0，此时方程无解，由对称性知，当x＜0时，方程也无解，又f（0）=0，∴函数g（x）=f（x）-x在R上有一个零点0，所以④不正确．
故答案为①②③．

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