已知函数f（x）=msinx+ncosx，且f(π4)是它的最大值（其中m，n为常数且mn≠0），给出下列命题：①f(x+π4)是偶函数；②mn=1；③函数f（x）的图象关于点(7π4，0)对称；④f

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已知函数f（x）=msinx+ncosx，且f(

)是它的最大值（其中m，n为常数且mn≠0），给出下列命题：
①f(x+

)是偶函数； ②

=1； ③函数f（x）的图象关于点(

7π

，0)对称；
④f(-

3π

)是f（x）的最大值；⑤记函数f（x）的图象在y轴右侧与直线y=

的交点按横坐标从小到大依次为P₁，P₂，P₃，P₄，…，则|P₂P₄|=π．
其中真命题的是______．（写出所有正确命题的编号）

题型：填空题难度：中档来源：安徽模拟

答案

由于函数f（x）=msinx+ncosx=

m2+n2

sin（x+φ），且f（class="stub"1

π ）是它的最大值，
∴class="stub"1

π+φ=2kπ+class="stub"1

π，k∈z，
∴φ=2kπ+class="stub"1

π，∴tanφ=class="stub"n

=1．
∴f（x）=

m2+n2

sin（x+2kπ+class="stub"1

π ）=

m2+n2

sin（x+class="stub"1

π ）
对于①，由于 f（x+class="stub"1

π ）=

m2+n2

sin（x+class="stub"1

π ）=cosx，是偶函数，故①正确．
对于②，由tanφ=class="stub"n

=1，可得②正确．
对于③，由于当x=class="stub"7

π 时，f（x）=0，故函数f（x）的图象关于点（class="stub"7

π，0）对称，故③正确．
对于④，由于 f（-class="stub"3

π ）=

m2+n2

sin（-class="stub"1

π）=-

m2+n2

是函数f（x）的最小值，故 ④正确．
对于⑤，函数f（x）的图象即把函数 y=

m2+n2

sinx的图象向左平移class="stub"1

π个单位得到的，故|P2P4|等于一个周期2π，故 ⑤不正确．
故答案为：①②③

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已知函数f（x）=msinx+ncosx，且f(π4)是它的最大值（其中m，n为常数且mn≠0），给出下列命题：①f(x+π4)是偶函数；②mn=1；③函数f（x）的图象关于点(7π4，0)对称；④f

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