如图，已知Rt△ABC，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连接BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连接BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续

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如图，已知Rt△ABC，D₁是斜边AB的中点，过D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，连接BE₁交CD₁于D₂；过D₂作D₂E₂⊥AC于E₂，连接BE₂交CD₁于D₃；过D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此继续，可以依次得到点D₄，D₅，…，D_n，分别记△BD₁E₁，△BD₂E₂，△BD₃E₃，…，△BD_nE_n的面积为S₁，S₂，S₃，…S_n．则S_n=______S_△ABC（用含n的代数式表示）． 360优课网

题型：填空题难度：中档来源：湖州

答案

易知D1E1∥BC，∴△BD1E1与△CD1E1同底同高，面积相等，以此类推；
根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D1E1=class="stub"1

BC，CE1=class="stub"1

AC，S1=class="stub"1

S△ABC；
∴在△ACB中，D2为其重心，
∴D2E1=class="stub"1

BE1，
∴D2E2=class="stub"1

BC，CE2=class="stub"1

AC，S2=class="stub"1

S△ABC，
∵D2E2：D1E1=2：3，D1E1：BC=1：2，
∴BC：D2E2=2D1E1：class="stub"2

D1E1=3，
∴CD3：CD2=D3E3：D2E2=CE3：CE2=3：4，
∴D3E3=class="stub"3

D2E2=class="stub"3

×class="stub"1

BC=class="stub"1

BC，CE3=class="stub"3

CE2=class="stub"3

×class="stub"1

AC=class="stub"1

AC，S3=class="stub"1

S△ABC…；
∴Sn=class="stub"1

(n+1)2

S△ABC．

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如图，已知Rt△ABC，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连接BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连接BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续

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