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> 某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置,A车间有100名员工,B车间有400名员工,现要在公路AC上找一点D,修一条公路BD,并在D处建一个食堂,使得所有员工均在此食堂用餐,已-高三数学
某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置,A车间有100名员工,B车间有400名员工,现要在公路AC上找一点D,修一条公路BD,并在D处建一个食堂,使得所有员工均在此食堂用餐,已-高三数学
题目简介
某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置,A车间有100名员工,B车间有400名员工,现要在公路AC上找一点D,修一条公路BD,并在D处建一个食堂,使得所有员工均在此食堂用餐,已-高三数学
题目详情
某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置,A车间有100名员工,B车间有400名员工,现要在公路AC上找一点D,修一条公路BD,并在D处建一个食堂,使得所有员工均在此食堂用餐,已知A、B、C中任意两点间的距离均是1km,设∠BDC=α,所有员工从车间到食堂步行的总路程为S.
(1)写出S关于α的函数表达式,并指出α的取值范围;
(2)问食堂D建在距离A多远时,可使总路程S最少?
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)在△BCD中,∵
class="stub"BD
sin60°
=
class="stub"BC
sinα
=
class="stub"CD
sin(120°-α)
,
∴
BD=
3
2
sinα
,
CD=
sin(120°-α)
sinα
.
则
AD=1-
sin(120°-α)
sinα
.
S=400•
3
2
sinα
+100[1-
sin(120°-α)
sinα
]=50-50
3
•
class="stub"cosα-4
sinα
,其中
class="stub"π
3
≤α<
class="stub"2π
3
.
(2)
S′=-50
3
•
-sinα•sinα-(cosα-4)cosα
sin
2
α
=50
3
•
class="stub"1-4cosα
sin
2
α
令S'=0,得
cosα=
class="stub"1
4
.
当
cosα>
class="stub"1
4
时,S'<0,S是α的单调减函数;
当
cosα<
class="stub"1
4
时,S'>0,S是α的单调增函数.
∴当
cosα=
class="stub"1
4
时,S取得最小值.
此时,
sinα=
15
4
,
AD=1-
sin(120°-α)
sinα
=1-
3
2
cosα+
class="stub"1
2
sinα
sinα
=
class="stub"1
2
-
3
cosα
2sinα
=
class="stub"1
2
-
3
2
•
class="stub"1
4
15
4
=
class="stub"1
2
-
5
10
.
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答案
∴BD=
则AD=1-
S=400•
(2)S′=-50
令S'=0,得cosα=
当cosα>
当cosα<
∴当cosα=
此时,sinα=
AD=1-