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某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置，A车间有100名员工，B车间有400名员工，现要在公路AC上找一点D，修一条公路BD，并在D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已-高三数学

题目简介

某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置，A车间有100名员工，B车间有400名员工，现要在公路AC上找一点D，修一条公路BD，并在D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已-高三数学

题目详情

某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置，A车间有100名员工，B车间有400名员工，现要在公路AC上找一点D，修一条公路BD，并在D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A、B、C中任意两点间的距离均是1km，设∠BDC=α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S．
（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
（2）问食堂D建在距离A多远时，可使总路程S最少？
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）在△BCD中，∵class="stub"BD
sin60°
=class="stub"BC
sinα
=class="stub"CD
sin(120°-α)
，
∴BD=
3
2
sinα
，CD=
sin(120°-α)
sinα
．
则AD=1-
sin(120°-α)
sinα
．
S=400•
3
2
sinα
+100[1-
sin(120°-α)
sinα
]=50-50
3
•class="stub"cosα-4
sinα
，其中class="stub"π
3
≤α＜class="stub"2π
3
．

（2）S′=-50
3
•
-sinα•sinα-(cosα-4)cosα
sin2α
=50
3
•class="stub"1-4cosα
sin2α

令S'=0，得cosα=class="stub"1
4
．
当cosα＞class="stub"1
4
时，S'＜0，S是α的单调减函数；
当cosα＜class="stub"1
4
时，S'＞0，S是α的单调增函数．
∴当cosα=class="stub"1
4
时，S取得最小值．
此时，sinα=
15
4
，
AD=1-
sin(120°-α)
sinα
=1-
3
2
cosα+class="stub"1
2
sinα
sinα
=class="stub"1
2
-
3
cosα
2sinα
=class="stub"1
2
-
3
2
•
class="stub"1
4
15
4
=class="stub"1
2
-
5
10
．

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