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已知z，ω为复数，i为虚数单位，（1+3i）•z为纯虚数，ω=z2+i，且|ω|=52，则复数ω=______．-数学

题目简介

已知z，ω为复数，i为虚数单位，（1+3i）•z为纯虚数，ω=z2+i，且|ω|=52，则复数ω=______．-数学

题目详情

已知z，ω为复数，i为虚数单位，（1+3i）•z为纯虚数，ω=
z
2+i
，且|ω|=5
2
，则复数ω=______．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a-3b+（3a+b）i为纯虚数，∴
a-3b=0
3a+b≠0
．
又ω=class="stub"z
2+i
=
(a+bi)(2-i)
(2+i)(2-i)
=
2a+b+(2b-a)i
5
=class="stub"2a+b
5
+class="stub"2b-a
5
i，|ω|=5
2
，∴
(class="stub"2a+b
5
)2+(class="stub"2b-a
5
)2
=5
2
．
把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．
∴ω=±(class="stub"2×15+5
5
+class="stub"10-15
5
i)=±（7-i）．
故答案为±（7-i）．

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