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已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．(1)求证：数列｛＋｝是等比数列，并求数列{an}的通项an(2)若数列{bn}满足bn＝(3n－1)an，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式

题目简介

已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．(1)求证：数列｛＋｝是等比数列，并求数列{an}的通项an(2)若数列{bn}满足bn＝(3n－1)an，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式

题目详情

已知数列{a_n}中，a₁＝1，a_n_＋1＝

(n∈N^*)．
(1)求证：数列｛

＋

｝是等比数列，并求数列{a_n}的通项a_n
(2)若数列{b_n}满足b_n＝(3ⁿ－1)

a_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，若不等式(－1)ⁿλ＜T_n对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

(1) an＝

;(2) －1＜λ＜2.

试题分析：(1)将已知an＋1＝

取倒数可得:

＋1进而利用待定系数法将此式转化为:

＋

＝3

从而可证数列｛

＋

｝是等比数列,然后应用等比数的通项公式可求得数列{an}的通项an; (2)由(1)及已知可得bn＝(3n－1)·

＝n·

n－1,此数列是由一个等差数列{n}与一个等比数列{

n－1}对应项的积构成的一个数列，此数列的前n项和应用乘公比错位相减法就可求得其前n项和Tn；然后研究数列{Tn}的单调性可知：{Tn}为递增数列，最后通过讨论n的奇偶性及不等式恒成立的知识就可求得λ的取值范围.注意不等式:

对一切n∈N*恒成立等价于

,同理:不等式:

对一切n∈N*恒成立等价于

.
试题解析：(1)由题知，

＋1， . .1分
∴

＋

＝3

， 2分
∴数列｛

＋

｝是以3为公比以

=

为首项的等比数列。
∴

＋

＝

·3n－1＝

，∴an＝

5分
(2)由(1)知，bn＝(3n－1)·

＝n·

n－1，
Tn＝1×1＋2×

1＋3×

2＋…＋n·

n－1， 6分

Tn＝1×

＋2×

2＋…＋(n－1)

n－1＋n

n，
两式相减得，

Tn＝1＋

＋

＝2－

，
∴Tn＝4－

10分
∵Tn＋1－Tn＝

＞0，
∴{Tn}为递增数列 .12分
①当n为正奇数时，－λ＜Tn对一切正奇数成立，
∵(Tn)min＝T1＝1，∴－λ＜1，∴λ＞－1；
②当n为正偶数时，λ＜Tn对一切正偶数成立，
∵(Tn)min＝T2＝2，∴λ＜2.
综合①②知，－1＜λ＜2 .14分

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