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> 已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*).(1)求证:数列{+}是等比数列,并求数列{an}的通项an(2)若数列{bn}满足bn=(3n-1)an,数列{bn}的前n项和为Tn,若不等式
已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*).(1)求证:数列{+}是等比数列,并求数列{an}的通项an(2)若数列{bn}满足bn=(3n-1)an,数列{bn}的前n项和为Tn,若不等式
题目简介
已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*).(1)求证:数列{+}是等比数列,并求数列{an}的通项an(2)若数列{bn}满足bn=(3n-1)an,数列{bn}的前n项和为Tn,若不等式
题目详情
已知数列{a
n
}中,a
1
=1,a
n
+1
=
(n∈N
*
).
(1)求证: 数列 {
+
}是等比数列,并求数列{a
n
}的通项a
n
(2)若数列{b
n
}满足b
n
=(3
n
-1)
a
n
,数列{b
n
}的前n项和为T
n
,若不等式(-1)
n
λ<T
n
对一切n∈N
*
恒成立,求λ的取值范围.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1) an=
;(2) -1<λ<2.
试题分析:(1)将已知an+1=
取倒数可得:
+1进而利用待定系数法将此式转化为:
+
=3
从而可证数列 {
+
}是等比数列,然后应用等比数的通项公式可求得数列{an}的通项an; (2)由(1)及已知可得bn=(3n-1)·
=n·
n-1,此数列是由一个等差数列{n}与一个等比数列{
n-1}对应项的积构成的一个数列,此数列的前n项和应用乘公比错位相减法就可求得其前n项和Tn;然后研究数列{Tn}的单调性可知:{Tn}为递增数列,最后通过讨论n的奇偶性及不等式恒成立的知识就可求得λ的取值范围.注意不等式:
对一切n∈N*恒成立等价于
,同理:不等式:
对一切n∈N*恒成立等价于
.
试题解析:(1)由题知,
+1, . .1分
∴
+
=3
, 2分
∴数列 {
+
}是以3为公比以
=
为首项的等比数列。
∴
+
=
·3n-1=
,∴an=
5分
(2)由(1)知,bn=(3n-1)·
=n·
n-1,
Tn=1×1+2×
1+3×
2+…+n·
n-1, 6分
Tn=1×
+2×
2+…+(n-1)
n-1+n
n,
两式相减得,
Tn=1+
+
=2-
,
∴Tn=4-
10分
∵Tn+1-Tn=
>0,
∴{Tn}为递增数列 .12分
①当n为正奇数时,-λ<Tn对一切正奇数成立,
∵(Tn)min=T1=1,∴-λ<1,∴λ>-1;
②当n为正偶数时,λ<Tn对一切正偶数成立,
∵(Tn)min=T2=2,∴λ<2.
综合①②知,-1<λ<2 .14分
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已知等比数列{}是递增数列,是{}
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在等比数列(1)求数列{an}的通项
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已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*).(1)求证:数列{+}是等比数列,并求数列{an}的通项an(2)若数列{bn}满足bn=(3n-1)an,数列{bn}的前n项和为Tn,若不等式
题目详情
(1)求证: 数列 {
(2)若数列{bn}满足bn=(3n-1)
答案
试题分析:(1)将已知an+1=
试题解析:(1)由题知,
∴
∴数列 {
∴
(2)由(1)知,bn=(3n-1)·
Tn=1×1+2×
两式相减得,
∴Tn=4-
∵Tn+1-Tn=
∴{Tn}为递增数列 .12分
①当n为正奇数时,-λ<Tn对一切正奇数成立,
∵(Tn)min=T1=1,∴-λ<1,∴λ>-1;
②当n为正偶数时,λ<Tn对一切正偶数成立,
∵(Tn)min=T2=2,∴λ<2.
综合①②知,-1<λ<2 .14分