如图所示，抛物线y=4-x2与直线y=3x的两交点为A、B，点P在抛物线上从A向B运动.（1）求使△PAB的面积最大的P点的坐标(a,b);(2)证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线x=a分为面-

题目简介

如图所示，抛物线y=4-x²与直线y=3x的两交点为A、B，点P在抛物线上从A向B运动.

（1）求使△PAB的面积最大的P点的坐标(a,b);
(2)证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线x=a分为面积相等的两部分.

题型：解答题难度：偏易来源：不详

（1）P点的坐标为（-

）时，△PAB的面积最大（2）证明见解析

（1）解方程组

，得x1=1,x2=-4.
∴抛物线y=4-x2与直线y=3x的交点为
A（1，3），B（-4，-12），
∴P点的横坐标a∈(-4,1).
点P（a,b)到直线y=3x的距离为d=

,
∵P点在抛物线上，∴b=4-a2，

·(4-3a-a2)′=

(-2a-3)=0,
∴a=-

，即当a=-

时，d最大，
这时b=4-

,
∴P点的坐标为（-

）时，△PAB的面积最大.
（2）设上述抛物线与直线所围成图形的面积为S,
位于x=-

右侧的面积为S1.
S=

（4-x2-3x)dx=

,
S1=

（4-x2-3x)dx=

,
∴S=2S1,即直线x=-

平分抛物线与线段AB围成的图形的面积.