首页 > 设向量a=（sinx，cosx），b=（cosx，cosx），x∈R，函数f（x）=a•（a+b）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式f（x）≥32成立的x的取值集．-数学

设向量a=（sinx，cosx），b=（cosx，cosx），x∈R，函数f（x）=a•（a+b）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式f（x）≥32成立的x的取值集．-数学

题目简介

设向量a=（sinx，cosx），b=（cosx，cosx），x∈R，函数f（x）=a•（a+b）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式f（x）≥32成立的x的取值集．-数学

题目详情

设向量
a
=（sinx，cosx），
b
=（cosx，cosx），x∈R，函数f（x）=
a
•（
a
+
b
）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值与最小正周期；
（Ⅱ）求使不等式f（x）≥
3
2
成立的x的取值集．
题型：解答题难度：中档来源：湖北

答案

（Ⅰ）由题意知，f（x）=
a
•（
a
+
b
）=
a
•
a
+
a
•
b
=sin2x+cos2x+sinxcosx+cos2x
=1+class="stub"1
2
sin2x+class="stub"1
2
(cos2x+1)=class="stub"3
2
+
2
2
sin(2x+class="stub"π
4
)
∴f（x）的最大值为class="stub"3
2
+
2
2
，最小正周期是class="stub"2π
2
=π．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=class="stub"3
2
+
2
2
sin(2x+class="stub"π
4
)，
∴f(x)≥class="stub"3
2
，即class="stub"3
2
+
2
2
sin(2x+class="stub"π
4
)≥class="stub"3
2
，sin(2x+class="stub"π
4
)≥0，
∴2kπ≤2x+class="stub"π
4
≤2kπ+π
解得kπ-class="stub"π
8
≤x≤kπ+class="stub"3π
8
，k∈Z，
即f(x)≥class="stub"3
2
成立的x的取值集合是{x|kπ-class="stub"3π
8
≤x≤kπ+class="stub"π
8
，k∈Z}．

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